Сетевой электронный научный журнал "СИСТЕМОТЕХНИКА", № 8, 2010 г.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ДИНАМИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАДЁЖНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕЖСОЕДИНЕНИЙ СИЛОВОЙ МИКРОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ ПО МНОГОМЕРНЫМ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫМ ФУНКЦИЯМ

В.М. Емельянов, Шуклин И.И, В.В. Емельянов

 

(Курский государственный технический университет, НОЦ – Наноэлектроника)

 

Проверка адекватности и достоверности решения прямой задачи математического моделирования параметров надёжности межсоединений МПП путём сравнения результатов вычислений с результатами эксперимента на изучаемом объекте будут представлять собой активный эксперимент. В связи с высокой стоимостью и длительностью ресурсных испытаний межсоединений МПП необходимое количество данных моделируется по характеристикам имеющихся значений сопротивлений межсоединений МПП.

Генерация элементов матрицы сопротивлений межсоединений осуществляется по нормальному закону с помощью программы MathCad Enterprise Edition 11, приведённой в табл. 1. Указанная программа генерирует матрицу случайных величин, распределённых по нормальному закону, входными данными служит матрица экспериментальных значений. За один цикл программа (табл.1) генерирует центрированные значения сопротивлений межсоединений для одной МПП, с вероятностными характеристиками матрицы экспериментальных данных (автокорреляционной функцией и среднеквадратическим отклонением).

В табл. 1 обозначены:

1.   Организация цикла по количеству столбцов матрицы данных А;

2.   Вычисление СКО столбцов матрицы экспериментальных данных;

3.   Организация цикла по количеству столбцов матрицы данных А;

4.   Вычисление многомерной автокорреляционной матрицы экспериментальных данных;

5.   Определение количества строк экспериментальной матрицы;

6.   Организация цикла по количеству столбцов матрицы данных А;

7.   Генерация векторов случайной величины;

8-10.   Организация цикла по количеству столбцов матрицы данных и вычисление ковариационной матрицы;

 

Таблица 1

Программа моделирования векторов-столбцов отклонений

с вероятностными характеристиками экспериментальных данных

 

Вид программы в системе MathCAD

операции

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

– 9

– 10

– 11

– 12

– 13

– 14

– 15

– 16

– 17

– 18

– 19

– 20

– 21

 

11.    Преобразование матрицы отклонений в матрицу автокорреляционно независимых отклонений;

12-14.     Присвоение СКО матрице автокорреляционно независимых отклонений;

15-17.     Приведение матрицы независимых отклонений значений сопротивлений к коррелированному виду;

18-20.     Присвоение задаваемых СКО матрице полученных автокорреляционно не связанных отклонений с последующим центрированием;

21.    Вывод сгенерированной матрицы.

При расчёте без учёта корреляционной взаимосвязи из сгенерированных значений сопротивлений формируется объединённый вектор сопротивлений с помощью программы MathCad Enterprise Edition 11 (табл. 2).

 

Таблица 2

 

Программа моделирования векторов-столбцов отклонений

с задаваемыми коэффициентами корреляции и СКО

 

 

Вид программы в системе MathCAD

операции

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

– 9

– 10

– 11

– 12

 

В табл. 2 обозначены:

1.         Присвоение текущей переменной значения СКО;

2.         Генерация по вектору СКО, автокорреляционной матрице матрицу данных с количеством строк n;

3-5.   Организация цикла для прибавления МО к элементам матрицы сгенерированных данных;

6.         Формирование объединённого вектора сопротивлений;

7.         Определение дополнительных элементов;

8.         Вспомогательная генерация с целью получения идеального нормального распределения с заданными характеристиками;

9-11.   Организация цикла для прибавления МО к элементам вектора сгенерированных данных с выводом результата.

Исходя из формулировки расчёта надежности по вероятности одного отказа, рассматриваются значения сопротивлений, вероятность выхода на отказ которых максимальна. Таким образом, представляет интерес множество значений R, удовлетворяющих требованию , где j – количество плат, Ω – множество всех значений сопротивлений. Гистограмма распределения максимальных значений сопротивлений межсоединений, нормированная относительно количества рассматриваемых МПП, приведена на рис. 1.

Рис. 1 Сравнение гистограммы максимальных значений сопротивлений межсоединений (изображена столбиками) с гистограммой нормального распределения (изображена «стемом»).

С целью идентификации закона распределения максимальных значений сопротивления межсоединений проводилось имитационное моделирование нескольких партий по 100 плат каждого типа. Гистограммы распределений сопротивлений межсоединений для каждой партии приведены на рис. 2.

Рис. 2 Гистограммы распределений максимальных сопротивлений межсоединений для нескольких партий МПП (обозначения см. рис.1).

 

В процессе обработки значений сопротивлений межсоединений формируется объединённый вектор сопротивлений межсоединений слоёв МПП. Характеристики закона распределения значений этих векторов для нескольких МПП определяются с помощью программы табл. 3.

Таблица 3

Программа вычисления МО и СКО объединённого
вектора сопротивлений межсоединений МПП

 

Вид программы в системе MathCAD

операции

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

 

В табл. 3 обозначены:

1.   Введение текущей переменной;

2-3.     Организация цикла по количеству плат с последующим их объединением в один вектор;

4-5.     Вычисление МО и СКО сопротивлений межсоединений нескольких МПП.

Проведём соответствие смоделированных значений сопротивлений межсоединений для одной МПП со значениями, полученными в результате моделирования для 100 МПП (рис. 3). Так как смоделированных значений сопротивлений межсоединений значительно больше, то плотность их распределения шире экспериментальных значений. Для смоделированных вычисляется наработка до отказа с учётом и без учёта автокорреляционной взаимосвязи электрического сопротивления межсоединений МПП и сравнивается с наработкой, полученной по экспериментальным значениям сопротивлений межсоединений. Проверка осуществляется по критерию Смирнова

,                                    (1)

где mx*, mx – математические ожидания (МО) исследуемого параметра по результатам эксперимента и моделирования соответственно; sх*, sх – среднеквадратические отклонения исследуемого параметра по результатам эксперимента и моделирования соответственно; q – табличное значение критерия Смирнова.

Рис.3 Гистограммы значений сопротивлений межсоединений МПП.

 

На рис. 3 обозначено: 1 – гистограмма значений сопротивлений межсоединений, полученных при помощи моделирования 100 МПП (масштаб по оси ординат 1:15); 2 – гистограмма смоделированных значений сопротивлений межсоединений для одной МПП; 3 – гистограмма максимальных значений сопротивлений межсоединений (масштаб по оси ординат 5:1).

С учётом взаимосвязи  или ; без учёта взаимосвязи  или;  по среднеквадратическим отклонениям: с учётом взаимосвязи  или ; без учёта взаимосвязи  или .

Вышеизложенные результаты подтверждают адекватность построенных математических моделей, как с учётом так и без учёта взаимосвязи значений электрических сопротивлений межсоединений.

Оценка адекватности математической модели надёжности межсоединений МПП основана на следующем свойстве экспериментальных значений сопротивлений межсоединений. Вычисляется сумма векторов электрических сопротивлений межсоединений

,                                               (2)

где n – количество межсоединений на МПП, m – количество слоёв.

Вычисляется СКО  полученного вектора . Затем вычисляется квадратичная форма вектора  без учёта взаимосвязи электрических сопротивлений межсоединений

,                                               (3)

где σj – СКО значений сопротивлений межсоединений j-го слоя МПП,

и с учётом автокорреляции электрических сопротивлений межсоединений

,                                           (.4)

где  – автокорреляционная матрица значений электрических сопротивлений межсоединений слоёв. При этом для некоррелированных данных величины ,  и  равны; при r≠0 соответственно =. Следовательно, вектор  учитывает автокорреляционнуювзаимосвязь электрических сопротивлений межсоединений слоёв.

Исходя из этого, для вектора  с коэффициентом корреляции r=0 и коэффициентом автокорреляции экспериментальных значений сопротивлений межсоединений вычисляется наработка до отказа. При этом, зависимость наработки до отказа межсоединений от коэффициента автокорреляции, рассчитанная по вектору , приведена на рис. 4.

 

Рис. 4 Зависимость моделируемого значения наработки до отказа межсоединений от коэффициента автокорреляции сопротивлений межсоединений слоёв.

 

Тогда по выражениям (1) при проверке адекватности по математическим ожиданиям: с учётом автокорреляции  или ; без учёта взаимосвязи  или ; при некоррелированных данных  или ; по среднеквадратическим отклонениям: с учётом автокорреляции или ; без учёта взаимосвязи  или ; при некоррелированных данных  или .

 

Следовательно, без учета взаимосвязи сопротивлений межсоединений слоёв математическая модель адекватна по среднеквадратическим отклонениям и математическим ожиданиям только для некоррелированных данных, тогда как с учётом автокорреляции – адекватна по рассматриваемым критериям.

 

Достоверность процесса моделирования значений параметров надёжности межсоединений МПП для автокоррелированных и некоррелированных значений электрического сопротивления межсоединений МПП подтвердилась соответственно путем проверки попадания моделируемых значений наработки до отказа межсоединений  и  соответственно в доверительные интервалы  ч и  ч.

Сетевой электронный научный журнал "СИСТЕМОТЕХНИКА", № 8, 2010 г.