"", 6, 2008 .

Стрельников В.П.

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ  ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУР НА ОСНОВЕ АППАРАТА  ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Используя аппарат ФСА, разработаны  инженерные методики расчета надежности резервированных структур типа  “k из n”  для любых значений    и   , которые приводят к определению функции распределения (-распределения) наработки до отказа рассматриваемых систем, на основании которой можно получать оценки всех необходимых показателей надежности этих систем (средней наработки до отказа, гамма-процентной наработки до отказа, вероятности безотказной работы за заданное время, остаточного ресурса и др.).

1. Введение
С целью повышения надежности технических  систем в практике проектирования имеет место резервирование путем параллельного соединения элементов, когда все элементы находятся под нагружением (нагруженный резерв). В частности, широкое применение имеют дублированные, троированные системы (структуры). В этом случае система функционирует пока не откажут все элементы. Применяют также структуры, в которых допускается отказ только одного из параллельно соединенных элементов. Отказ следующего (второго) элемента приводит к отказу системы. В общем случае, параллельные структуры сводятся к известным структурам типа   «». Такая структура нормально функционирует тогда и только тогда, когда работоспособны по крайней мере   элементов. Заметим, что  частный случай  kn  соответствует хорошо известному последовательному соединению, а частный случай  k1 - параллельному соединению, когда отказом системы считается выход из строя всех элементов. В настоящей работе рассматриваются и оцениваются показатели надежности  систем, которые либо действительно являются невосстанавливаемыми (например, системы однократного действия), либо таких восстанавливаемых систем, восстановление которых по каким-либо причинам невозможно непосредственно в рассматриваемое время. При этом предполагают, что все элементы имеют одинаковую надежность, и отказы элементов являются независимыми.
Теория функций случайных аргументов (ФСА)  -  один из важных разделов теории вероятностей. Основными задачами этой теории в прикладном плане являются нахождение распределения ФСА и его числовых характеристик по заданным распределениям аргументов. Успешное применение аппарата ФСА для расчета надежности некоторых систем было осуществлено ранее исследователями [1-3].
Как известно, суть метода расчета надежности систем на основе использования ФСА состоит в том, что случайная величина Т (наработка системы до отказа) представляется некоторой функцией случайных аргументов (  - средняя наработка и коэффициент вариации наработки элементов  -го типа, входящих в систему):
,
где (×) – детерминированная функция однозначно соответствующая структуре системы.   С другой стороны предполагают, что случайная величина Т описывается некоторым известным законом распределения. Ставится задача оценки параметров этого распределения через значения   и  . Используя, например, свойства и связи случайных величин и функций, а также  фундаментальные теоремы теории вероятностей (теоремы умножения, сложения и полной вероятности) устанавливают соотношения между такими показателями как средняя наработка до отказа системы и элементов, а
также между коэффициентами вариации наработки системы и элементов, однозначно определяемых структурой системы. Далее принимают в качестве функций распределения случайной величины Т  такую, чтобы можно было определить ее параметры через характеристики  и  . Таким образом, получают оценки закона распределения искомой случайной величины Т, т.е. решается задача расчета безотказности системы на основании показателей надежности элементов. Рассмотрим методики расчета рассматриваемых систем  на основе ФСА-метода с использованием в качестве  теоретической функции распределения наработки диффузионное немонотонное распределение (DN-распределение).

2. Методика расчета надежности параллельных структур на основе -распределения
Принимается гипотеза о том, что функции распределения наработок до отказа элементов структуры типа  k   из   n” , а также самой структуры (системы) описываются  DN-распределением. Для структур типа   «»  при равнонадежных элементах, используя, например, метод прямого перебора и теоремы сложения вероятностей [4] получено выражение для вероятности безотказной работы системы  в следующем виде:


,

 

(1)

где  - вероятность безотказной работы элемента;  .
После того как установлено выражение для вероятности безотказной работы (или вероятности отказа)  системы за определенное время  t, далее решение задачи (оценки показателей надежности системы) сводится к следующему. Если известны исходные данные (средняя наработка до отказа элементов  и коэффициент вариации наработки элементов ), то вычисляют значение вероятности отказа элемента  за наработку, например,   по формуле 
=,
где  - функция нормированного нормального распределения.
Вычисление   можно производить следующим образом:


.

 

(2)

Используя информацию о том, что предельное значение числа отказов элементов в рассматриваемой структуре равно  , вычисляют ожидаемый коэффициент вариации наработки до отказа системы по формуле 


.

 

(3)

Далее, используя полученное  значение вероятности отказа элемента за наработку  (или вероятность безотказной работы элемента ), вычисляют вероятность отказа системы за наработку   по формуле (1), где


 .

 

(4)

Вычислив численное значение  , можно записать следующее соотношение, из которого определяют среднюю наработку до отказа системы или параметр масштаба распределения наработки до отказа системы :


.

 

(5)

Величину относительной наработки    из последнего соотношения (5) можно определить входя в соответствующую таблицу -распределения [5] со значениями   и   или решая  следующее уравнение относительно :
 .
 Определив величину  , вычисляют значение средней наработки до отказа системы (параметр распределения наработки до отказа системы  ) по формуле:


 

(6)

Методики расчета надежности структур, имеющих разные значения  и  , остаются аналогичными.

Пример. Рассмотрим систему типа  k изn” для следующих значений параметров:  Необходимо определить среднюю наработку до отказа данной системы  , гамма-процентную наработку системы  и вероятность безотказной работы системы за    при следующих показателях надежности элементов:   час,  , ,  час.
Решение1. Если принимается гипотеза о теоретическом распределении наработки до отказа элементов и системы в виде DN-распределения, тогда решение поставленной задачи сводится к следующим процедурам.

                           .                       


3) Подставляя полученное значение   в формулу для вероятности отказа системы, вычисляют вероятность отказа исследуемой системы за наработку :
.
4) Вычисляют значение коэффициента вариации наработки до отказа исследуемой системы:
=.
5) Определяют параметр масштаба распределения наработки системы  и значение средней наработки до отказа системы:
= час.
6) Вычисляют гамма-процентную наработку системы :
час.
7) Вычисляют вероятность безотказной работы системы  :

Решение 2. Расчет  надежности  на основе классической  теории  вероятностей  и функций случайных аргументов с использованием экспоненциального  распределения.
1) Используя ранее установленные результаты [4], вычисляют значение средней наработки до отказа исследуемой системы по формуле

2) Коэффициент вариации наработки до отказа любой системы при экспоненциальном распределении остается равным единице.
3) Вычисляют гамма-процентную наработку системы :
час.
4) Вычисляют вероятность безотказной работы системы  :

Решение 3. Расчет надежности  на основе  теории  функций случайных аргументов с использованием распределения Вейбулла.
1) Используя ранее установленные результаты [3], вычисляют значение средней наработки до отказа исследуемой системы по формуле
,
где  - коэффициент вариации наработки до отказа исследуемой  системы при  распределении Вейбулла [3] вычисляется по формуле 
2)  Вычисляют гамма-процентную наработку системы :
час.
3) Вычисляют вероятность безотказной работы системы  :
.
Ниже в таблице приведены результаты статистического моделирования функционирования исследуемой системы и расчетные оценки показателей надежности этой системы. Моделирование наработок до отказа элементов осуществлялось с использованием генератора случайных чисел, имеющих распределение типа диффузионное немонотонное (DN-распределение). Моделирование наработок до отказа исследуемых систем («k из n») осуществлялось следующим образом. Методом Монте-Карло с использованием генератора  DN-распределенных чисел моделировалось 5 элементов (5 случайных наработок до отказа: ). Затем строился вариационный ряд из этих пяти наработок: .  Определялась наработка до отказа этой системы: . Таким образом, моделировалось   систем. 

Таблица 1. - Результаты моделирования и расчетные оценки показателей надежности  системы.

Методика

Результаты моделирования

732

0,55

290

0,98

Расчет на основе -распределения

735

0,577

301

0,9869

Расчет на основе рас-пределения Вейбулла

751

0,56

239

0,9265

Расчет на основе экспоненциального распределения

783

1

82

0,775

Как видно из приведенных результатов в таблице, наиболее точные оценки практически всех показателей надежности исследуемой системы получаются при использовании методики расчета на основе  -распределения. Завышены расчетные оценки средней наработки до отказа при использовании распределения Вейбулла и в большей степени при использовании экспоненциального распределения. Занижены расчетные оценки гамма-процентной наработки и вероятности безотказной работы при использования распределения Вейбулла. Расчетные оценки гамма-процентной наработки и вероятности безотказной работы исследуемой системы на основе использования экспоненциального распределения очень сильно занижены и не могут быть использованы на практике.
3.Заключение
В настоящей работе, используя аппарат ФСА, разработаны  инженерные методики расчета надежности невосстанавливаемых параллельных  систем типа  k изn”  для любых значений    и   , которые приводят к определению функции распределения (-распределения) наработки до отказа рассматриваемых систем, на основании которой можно получать оценки всех необходимых показателей надежности этих систем (средней наработки до отказа, гамма-процентной наработки до отказа, вероятности безотказной работы за заданное время, остаточного ресурса и др.). Показано, что методические погрешности расчета показателей надежности исследуемых систем на основе предлагаемой методики имеют наименьшие значения по сравнению с методическими погрешностями расчета при использовании экспоненциального распределения и распределения Вейбулла.
Литература
1. Вентцель Е.С.  Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1969. – 576 с.
2. Хан Г.,  Шапиро С.  Статистические  модели  в  инженерных задачах.  М.: «Мир»,
1969. – 395 с.
3. Надежность и эффективность АСУ  /Ю.Г. Заренин, М.Д. Збырко, Б.П. Креденцер и др. – К.: Техніка, 1975. – 368 с.
4. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: »Наука»,1965. – 423 с.
5. Стрельников В.П., Федухин А.В. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем. – К.: Логос, 2002. – 486 с.

СВЕДЕНИЯ  ОБ  АВТОРЕ

 

СТРЕЛЬНИКОВ ВАЛЕРИЙ ПАВЛОВИЧ, зам директора Института проблем математических машин и систем НАН Украины, профессор Национального авиационного университета, доктор технических наук, действительный член Российской академии надежности.

 

 

 


"", 6, 2008 .