Сетевой электронный научный журнал "СИСТЕМОТЕХНИКА", № 2, 2004 г.

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОПУЛЯЦИИ – ОБЪЕКТ ГРУППОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

 

Яковенко Г.Н.

(Московский физико-технический институт, yakovenko_g@mtu-net.ru)

 

Групповая система, моделирующая биосистему

Предлагается следующая модель биосистемы ( и - показатели степени):

(2.1)

где  и  - биомассы взаимодействующих видов, , ,  и  - числа,  – произвольные функции. Система (2.1) - модификация уравнений Лотки-Вольтерра [1]. При  система (2.1) - уравнения Мальтуса. При ,  первое уравнение в (2.1) - логистическое уравнение Ферхюльста. Системе (2.1) соответствуют операторы:

(2.2)

Вычисление коммутаторов приводит к результату

(2.3)

т. е. операторы (2.2) – базис алгебры Ли с структурными постоянными[1] [2-4]

, ,

(2.4)

С учетом (2.3) при условии

, , ,

система (2.1) является групповой [3]. Для определенности далее предполагаем  и условия используем в следующем виде

, , , .

(2.5)

Добавляя к системе (2.1) уравнение для переменной , погружаем систему (2.1) в класс L-систем [3]

(2.6)

Для L-системы (2.6) по сравнению с системой (2.1) дополняются операторы (2.2):

(2.7)

причем для (2.7) справедливы те же равенства (2.3), (2.4), что и для операторов (2.2).

 

Алгебраические преобразования L-системы

Набор структурных постоянных ,  характеризует алгебру Ли с базисом (2.7): трехмерная нильпотентная алгебра, у которой производная алгебра одномерна и не принадлежит центру [4]. Структура алгебры дает возможность сменой базиса упростить набор , . Из «таблицы умножения» (2.3) следует (, см. (2.5)):

Для новых базисных операторов

(3.1)

(определитель матрицы перехода от к  равен ) «таблица умножения» такова

(3.2)

т. е. с базисом (3.1) алгебра Ли характеризуется структурными постоянными (см. сноску перед формулой (2.4))

(3.3)

Переход от базиса  к базису  можно осуществить следующим образом. Вместо произвольных функций  введем произвольные функции :

(3.4)

(определитель матрицы перехода равен ). В результате замены произвольных функций  на  L-система (2.6) примет вид

(3.5)

Столбцы в правой части L-системы (3.5) определяют коэффициенты базисных операторов  (см. (2.7), (3.1)).

 

Модель, инвариантная к выбору переменных состояния

Принадлежность системы  к L-системам инвариантна по отношению к неособенному преобразованию  переменных состояния [3]. В переменных  система имеет такую же структуру  Операторы (2.2), построенные по функциям , удовлетворяют «таблице умножения» (2.3) с такими же структурными постоянными (2.4). Если системы  и , связанные неособенным преобразованием , считать эквивалентными, то каждому классу эквивалентности соответствуют размерность n пространства состояний , постоянные  и множество  допустимых значений для функций :

(4.1)

Соответствие - взаимно однозначно: по структурным постоянным  в некоторых переменных вычисляется базис  [2], по операторам  определяется представитель класса эквивалентности (4.1) с возможностью заменой переменных перейти к другому представителю. Набор  являет собой пример инвариантной математической модели динамической системы. По этому набору можно исследовать те свойства системы, которые сохраняются при заменах переменных : наличие первых интегралов, инвариантных поверхностей и т.д. Алгебраическая структура, определяемая , позволяет строить в соответствующем классе эквивалентности (4.1) представители специального вида: линейного, билинейного, двухуровневого, блочного и т.д. В частности, L-системе (3.5) соответствует инвариантная модель

.

(4.2)

Исходя из этой модели в следующем пункте строится линейный представитель класса эквивалентности (4.1) и изучаются некоторые свойства.

 

Замена переменных в L-системе

По структурным постоянным (3.3) видно, что алгебра Ли имеет 2-мерный абелев идеал [4] с базисом , . Тот факт, что этот идеал абелев, дает возможность одним и тем же преобразованием переменных операторы ,  «выпрямить» - привести к виду ,  [2]. Опустив вычисления, приведем это преобразование (см. требования (2.5))

(5.1)

где обозначено

(5.2)

Замена переменных (5.1) в системе дифференциальных уравнений (3.5) приводит к L-системе

(5.3)

Операторы  в переменных , ,  принимают вид

(5.4)

и для них условия (3.2) выполняются с теми же структурными постоянными (3.3), что и в переменных , , . По сравнению с L-системами (2.6) и (3.5) система (5.3) обозрима и поддается всестороннему анализу. Результаты анализа при помощи взаимно однозначных преобразований (3.4), (5.1), (5.2) могут быть возвращены к исходным системам (2.1) и (2.6). Например, для системы (5.3) легко вычисляется трехпараметрическая группа сдвигов вдоль решений:

(5.5)

Сдвиг вдоль решений системы (5.3), соответствующий паре {, }, есть преобра-зование группы (5.5). Возврат в (5.5) при помощи (5.1) к переменным , ,  приведет к группе, соответствующей системе (2.6).

Еще один пример. Пусть функции  принадлежат вышеупомянутому абелеву идеалу с базисом , , т. е. . Тогда у системы (5.3) есть первый интеграл – семейство инвариантных поверхностей . Этот факт, очевидный и без алгебраических премудростей, при возврате при помощи преобразований (3.4), (5.1), (5.2) к исходным переменным формулируется так: если для системы (2.6) выполняется

то у системы (2.6) при любых функциях  есть первый интеграл [5] - семейство инвариантных поверхностей

.

Приведенный результат методом разглядывания системы (2.6) усматривается весьма неохотно.

Необычный учет в (2.1) взаимодействия видов (в отличие от хрестоматийного ) оправдан тем, что система (2.1) порождает трехпараметрическую группу сдвигов вдоль решений, соответствующих всевозможным парам {, }. Этот факт устанавливается коммутированием (2.3) соответствующих операторов (2.2). На основе этого обстоятельства регулярными алгоритмическими действиями система (2.1) эквивалентно преобразуется в линейную по переменным состояния систему (5.3). Система (5.3) поддается всестороннему анализу, результаты которого допускают перенос на исходную систему (2.1). Для системы (5.3), в частности, приведена группа сдвигов вдоль решений и пример инвариантных поверхностей. Приведена также инвариантная модель (4.2) исходной системы (2.1).

 

Список литературы

 

  1. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 232 с.
  2. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
  3. Яковенко Г.Н. Принцип суперпозиций для нелинейных систем: Софус Ли и другие. М.: Изд. МФТИ, 1997. 96 с.
  4. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964. 356 с.
  5. Яковенко Г.Н. Управление на группах Ли: первые интегралы, особые управления // Кибернет. и вычисл. техн. / Киев, 1984. Вып. 62. С. 10 - 20.

 



Здесь и далее приводятся только ненулевые структурные постоянные , удовлетворяющие условию

Сетевой электронный научный журнал "СИСТЕМОТЕХНИКА", № 2, 2004 г.