Сетевой электронный научный журнал "СИСТЕМОТЕХНИКА", № 2, 2004 г.

ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ДАННЫХ

 

Панов А.В., Мингулова Л.И.

(Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики)

 

Система данных представляет собой прежде всего упорядоченную систему [1, 2].

На уровне исходной системы конкретизируется значение полного параметра базирования:

WÍW1 x W2 xx Wm = {(w1,w2,…,wm)},

(1)

где W - система базирования, Wi () – параметры базирования (шкалы координат), а множество векторов (w1, w2, …, wm) – координаты элемента системы в базисе W; а также формируется описание полного состояния переменных:

VÍV1 x V2 xx Vn={(v1,v2,…,vn)}

(2)

где V – система переменных, определенных для системы объекта, Vi () – сами переменные, множество векторов (v1,v2,…,vn) – множество возможных наборов значений переменных.

В итоге, по определению, исходная система имеет вид [2]:

=(V,W)

(3)

По сути определено множество элементов по переменным и базам, образующих начальную систему данных наблюдений о). Однако на этом уровне переменные и базы еще не приведены в соответствие, т.е. пока не известно, какая переменная в каком базисе определена. Для формирования системы данных необходимо выделить отношение вида W®V, т.е. упорядочить систему, задав это отношение

d: W®V, dÎД

(4)

Упорядоченная система по d представляет собой систему данных:

Д = (V, W, d) = (I, d),

(5)

где (V, W) – элементы системы, d – отношение между элементами.

Заметим, что система данных является конкретизацией, частным случаем исходной системы.

Итак, на формальном уровне система данных Д порождается субъектом заданием отношения d.

 

Операция структуризации и метаоперация в системе порождения новых данных

Процессы обработки упорядоченной системы данных Д порождают новые системы данных, которые в совокупности с исходными данными называются системами порождения F [3] :

Д ® {f} ® F; (Д=Д1) ® (F=Д2);

,

(6)

где Д – система данных ):

Д = (I, d); I = (V, W);

d: W ® V; ,

(7)

где F – система порождения; ; {f} – операции порождения.

Операции порождения определяются формальными, логическими и эвристическими правилами преобразования системы Д в систему F в цепочке:

 ® Д ® F или Д0 ® Д1 ® Д2 ,

Для примера обратимся к численным методам интегрирования. По теореме о среднем значении интегрального исчисления, имеем:

,

где m – наименьшее, а М – наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b].

На этой теореме базируется следующий общий принцип. Пусть на [a, b] заданы n+1 узловых точек a = x0<x1<…<xn=b, в которых известны значения подынтегральной функции yk = f(xk) (k=0,1,…,n). Указанные значения функции yk представляют собой исходные данные или упорядоченную систему данных

.

Причем упорядочение в данном примере обусловлено расстановкой узловых точек.

Если М(y0,y1,…,yn) есть какое-нибудь из средних значений, образованное из y0,y1,…,yn :

то, полагая , получаем формулу среднего значения, которая при введении дополнительных условий интегрирует соответствующие известные формулы приближенного вычисления интегралов (интегрирование с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, формулы Ньютона-Котеса, Симпсона и др.):

(8)

где Rn[f] – погрешность интегрирования.

Среднее значение интеграла, вычисленное по формуле (8), вместе со значениями функции yk образуют пример системы порождения F. Заметим, что восстановление исходной системы данных по системе данных полученной в результате применения функции порождения F=, невозможно.

Вообще, невозможность обратного перехода j-1 характерна для большинства интегральных и метапараметров систем. Это обстоятельство, продемонстрированное на конкретном примере, определяет следующий вид графа отношений системы данных, которая может быть представлена множеством систем данных {Д} и системы порождения F (рис. 1).

В рассмотренном примере процесс порождения не затрагивает базиса, в котором определена система данных Д. Это является важным моментом с точки зрения введения понятий операции структуризации и метаоперации.

Если процесс порождения Д в F не меняет исходной базы системы Д, и при этом сохраняется изоморфизм отношений систем Д и F, то такие операции порождения классифицируются как операции структуризации, или просто структуризация (С).

 

 

Рис. 1. Граф отношений множества системы данных и системы порождения

 

В противном случае имеем метаоперацию (М). Примером метаоперации может служить отображение случайной величины из множества {00,01,…,99} в определенное значение параметра системы нечисловой природы (в некоторую качественную характеристику). Подобные технологии, именуемые механизмами случайного выбора (МСВ), лежат в основе имитационного моделирования систем.

Изоморфизм математической модели позволяет также использовать МСВ в учебном процессе для формирования индивидуальных вариантов заданий по дисциплинам «Системный анализ» и «Теория систем».

Очевидно, что операции “С” и “М” могут применяться многократно и в любой последовательности: CF, MF, CMF, C2F … . Это особенно важно в методологическом плане.

В результате применения различных типов операций (“C” или “M”) возникают методологически новые типы систем.

По аналогии с вышесказанным, если при наличии операции структуризации базис системы остается без изменения, то получающиеся системы называют структурированными. Двойственные по определению системы являются метасистемами.

Если в процесс порождения включить двукратное последовательное применение указанных операций, то мы приходим к необходимости перечисления возникающих при этом новых методологических типов систем.

 

Список литературы

 

  1. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика. – М.: Наука. Физматлит, 1999. – 544 с.
  2. Нечаев В.В. Введение в теорию метамоделирования систем. – М.: Международное издательство «Информациология», 1997. – 64 с.
  3. Панов А.В. Рационально-эмпирическое представление информации для систем открытого образования // Открытое образование: Научно-практический журнал. – 2001.- №4. – С. 56 – 60, 73.

Сетевой электронный научный журнал "СИСТЕМОТЕХНИКА", № 2, 2004 г.