Сетевой электронный научный журнал "СИСТЕМОТЕХНИКА", № 1, 2003 г.

ВЫБОР ПРОЕКТНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ ПО АПРИОРНЫМ, АПОСТЕРИОРНЫМ И АДАПТИВНЫМ МОДЕЛЯМ

 

Кандырин Ю.В., Курбатова Е.Н.

(Московский энергетический институт (технический университет))

 

Цель работы – анализ существующих стратегий выбора проектных альтернатив и разработка адаптивной модели многокритериального выбора вариантов. Любая многокритериальная задача выбора проектных вариантов требует ответа на главный вопрос, что же следует считать наилучшей альтернативой в задаче с несколькими показателями качества. Математически строгий ответ на этот вопрос связан с задаваемой ЛПР формальной моделью выбора или, точнее, с принятыми конкретными критериальными требованиями Ск в двойке <С, W >, где Ск Í С, С – функция выбора, а W - исходное множество альтернатив.

По способу использования в таких задачах дополнительной информации процедурные модели выбора принято подразделять на априорные, апостериорные и адаптивные.

Априорные модели выбора не используют никакой дополнительной информации в процессе их использования. Предполагается, что вся информация, позволяющая определить наилучшее решение заложена в самой постановке задачи, если задано множество альтернатив W и Ск {ПКl}. Таким образом, для выбора наилучшей альтернативы ЛПР достаточно априори задать цель в виде той, или иной постановки Ck, определяющей качество варианта, и решение будет однозначно найдено. Процедуры априорного формирования стратегии выбора основаны на предположении возможности априорного (до решения задачи) определения наилучшего соотношения между показателями качества и другими требованиями. Понятно, что такая возможность существует не всегда и введение или не введение определенных метрических соотношений между показателями качества не может быть задано в отрыве от решаемой конкретной задачи. Метрические критерии сразу же ограничивают область возможных решений, а непосредственный выбор альтернатив в таких процедурах фактически заменяется на выбор метрики при формировании функции выбора Ck, что совсем не проще изначальной задачи. Если же в качестве моделей априорного типа использовать безусловные неметрические постановки, то как правило, задача не получит единственного решения. Таким образом, налицо существенная ограниченность подхода, обусловленная либо жесткой субъективностью, вызванной назначением априорной метрики, либо апостериорной неопределенностью, вызываемой задаваемыми априори слабыми критериями.

Модели выбора апостериорного типа формируются с учетом того, что в них априори нет достаточной информации для однозначного выбора наилучшей альтернативы. Недостающая информация в таких апостериорных процедурах привносится в процесс решения самим ЛПР на завершающих этапах выбора, после выделения эффективных альтернатив с помощью слабых критериев, если несравнимость альтернатив еще сохраняется. Такие завершающие процедуры носят, как правило, принципиально субъективный характер и часто наталкиваются на критику в необъективности окончательного выбора, хотя, по сути, необходимость привлечения субъективных суждений вытекает из существа решения задачи, в которой вся априорная информация уже использована.

Наиболее часто модели выбора апостериорного типа формулируются в виде дополнительных требований на предпочтения ЛПР, которые закладываются в некоторый функционал, позволяющий свести постановку к скалярной задаче.

Обычно на окончательных этапах выбора можно использовать методы ЭЛЕКТРА [1], метод Подиновского [2], а также апостериорную процедуру, предложенную Кини Р. и использующую маргинальную (или условную) функцию полезности.

Главным достоинством апостериорных процедур выбора по сравнению с априорными процедурами является их большая информационная насыщенность. Она выражается, во-первых, в том, что первые шаги выбора принципиально более осторожны и нацелены на то, чтобы не отбросить альтернативы, с которыми еще нет полной определенности (при слабых критериях). Во-вторых, окончательный выбор зиждется на уточняющих постановках, информация для которых привлекается уже с учетом ранее полученных решений и на множествах существенно меньшей мощности, что делает меньшей вероятность ошибок ЛПР.

В методах ЭЛЕКТРА, предложенных профессором Б. Руа (Франция) [1] бинарное отношение предпочтения строится следующим образом. Каждому из l показателей качества {kl}, l = {1, L} назначается вес P, характеризующий важность критерия. Cравнение вариантов wi {k1, …kL} и wj {k1, …kL} производится следующим образом. Полное множество показателей качества ПК = {kl}, l = {1, L} разбивается на три подмножества { I+, I=, I - }:

I+ (wi, wj ) - показатели, по которым wi, превосходит wj;

I= (wi, wj ) - показатели, по которым wi, и wj имеют эквивалентные оценки;

I - (wi, wj ) - показатели, по которым wj превосходитwi.

Далее определяется относительная важность P+ ij, P= ij, P- ji каждого из этих подмножеств (по-разному для методов ЭЛЕКТРА 1, ЭЛЕКТРА 2, ЭЛЕКТРА 3). { P+ ij, P= ij, P- ji} – числа, в определенном смысле аналогичные весам. Кроме того, задается некоторый порог C и считается, что вариант wi превосходит вариант wj только в том случае, когда некоторая функция, называемая индексом согласия, удовлетворяет условию

f (P+ ij, P= ij, P- ji ) ³ C.

(1)

Важность групп критериев I­+ (wi, wj ), I= (wi, wj ), I-(wi, wj ) определяется как сумма весов, входящих в них критериев.

P*ij = å pl ,

(2)

где *Î {+, -, =}; l ÎI*(i, j)

Вид функции f (P+ ij, P= ij, P- ji) в каждой модификации ЭЛЕКТРА определяется по-своему. Условие (1) является необходимым, но недостаточным условием превосходства wi над wj. В методах ЭЛЕКТРА формируются дополнительные условия, которые учитывают не только порядок следования оценок вариантов wi и wj по показателям качества kl, но и значения их разностей

di,j = {kl (wi) - kl (wj)}, i ¹ j= {1, N}, l = {1, L}.

(3)

Эти условия, называемые индексом несогласия, могут быть оценены в виде dij £ d, где d – пороговое значение индекса несогласия, а dij в каждой модификации метода ЭЛЕКТРА определяется по-своему.

Таким образом, отношение предпочтения R альтернатив определяется условием (4)

wi R wj Û [f (P+ ij, P= ij, P- ji )³ C] Ù [dij £ d].

(4)

Далее предлагается не выделять недоминируемые варианты, а несколько расширить это подмножество путем выделения в исходном множестве ядра, все элементы которого несравнимы между собой, и любой вариант, не вошедший в ядро, доминируется хотя бы одним элементом ядра. Дальнейшее усечение вариантов может быть достигнуто заданием других, более жестких ограничений, например, увеличением порогового значения индекса согласия C и уменьшением порога индекса несогласия.

Резюмируя, отметим, что предложенные Руа методы ЭЛЕКТРА имеют своей целью построение более сильного бинарного отношения предпочтения, нежели паретовское, с привлечением сравнительной важности критериев и метрических отношений между ними в виде их весовых коэффициентов, но как и другие подходы методы ЭЛЕКТРА не лишены традиционных для многих известных метрических критериев недостатков.

Другой оригинальный апостериорный метод решения задач многокритериального выбора предложил Подиновский [2]. Основное и существенное отличие метода Подиновского состоит в том, что качественная информация о показателях качества, получаемая от ЛПР не преобразуется в количественную. Автору впервые в практике многокритериальной оптимизации удалось освободиться от необходимости ввода весовых коэффициентов важности показателей качества, вносящих существенный субъективизм и неопределенность в решение задачи.

Дополнительная информация в методе Подиновского задается на множестве {kl}, "l = {1,..,l,.., m,..,L} совокупностью сообщений ЛПР типа:

§         Показатель качества kl важнее, чем km (обозначается kl f km ).

§         Показатели качества kl равноценны km (обозначается kl ~ km ).

§         Набор показателей качества {kl1,….klf} важнее, чем набор {km1…. kmg}.

§         Наборы показателей качества {kl1,…. klf} и {km1…. kmg} одинаковы по важности.

Если при рассмотрении ограничиться лишь первыми двумя условиями, то интуитивно ясно, что один показатель качества важнее другого, если увеличение на несколько единиц оценки по первому из них важнее уменьшения оценки по второму на столько же единиц. Отсюда следует, что понятие важности критериев следует определять через перестановки оценок по различным показателям качества*.

Примечание. Главное препятствие на этом пути заключается в том, что возможность перестановки оценок по ПК подразумевает возможность измерения этих показателей в одних и тех же единицах. Однако в случае неоднородных показателей качества приравнивание и сравнение оценок не имеет физического смысла. Введение этого требования в определенной степени снижает практическую ценность понятия упорядочивания показателей качества, так как приведение метрических шкал к однородным масштабам не всегда практически реализуемо и не может гарантировать корректности упорядоченности неоднородных ПК. Но в случае порядковых отношений, подобных проблем не возникает. Действительно при изменении положения биссектрис-гиперплоскостей упорядочение по важности для порядкового отношения не изменяется, и поэтому может быть определено устойчивым образом. Значит, при использовании порядковых бинарных отношений снимаются проблемы, связанные с необходимостью подбора одинаковых единиц измерения показателей качества.

В основу s-упорядочения по Подиновскому положена именно перестановка критериальных оценок. Например, kl « km эквивалентно условию симметричности S(R) относительно биссектрисы-гиперплоскости вида wi(kl)= wi(km). Это s-упорядочение определено для довольно узкого класса отношений, являющихся симметризацией (Sim) отношения Парето.

Пусть, например, w Î Rl n , вариант wlm получен из w перестановкой координат kl и km. Тогда, если ЛПР задает равноценность показателей качества kl и km т. е. (kl ~ km), то варианты w и wlm считаются эквивалентными (w ~ wi,j). Если же ЛПР считает, что показатель качества kl важнее чем km , т.е. (kl f km), то из двух вариантов более предпочтительным считается тот, у которого значение l-го показателя больше (для максимизации). Показатель качества kl оказывается не менее важным, чем km , если из wi (SimPar)wj (где wi(kl )< wi(km)) следует, что wi 1(Sims Par)wj1, где wi 1 и wj1 – варианты, полученные соответственно из wi и wj перестановкой l и m координат.

Далее посредством взятия транзитивного замыкания расширяется отношение Парето по правилу

wi  п wj Û $ wq : (wj f wq Ú wj ~ wq) Ù wi Parn wq.

Отношение “~” считается рефлексивным, т.е. wi ~ wi . А отношение Â п – бинарное отношение, более сильное, чем паретовское. Очевидно, что  п рефлексивно и транзитивно.

К недостаткам метода Подиновского следует отнести два главных.

Первый связан с требованием однородности (в единой метрике) оценки важности, так как только в этом случае возможна перестановка координатных осей для симметрирования отношения Парето.

Второй недостаток связан с тем, что для построения отношения  п используется операция транзитивного замыкания, т. е. считается что предпочтение ЛПР заведомо транзитивно. Но это никак не проверяется, хотя взятие транзитивного замыкания решает проблему транзитивности  п только в том случае, если в качестве исходного выбрано отношение Парето. Для любого другого произвольного транзитивного отношения транзитивное замыкание - не транзитивно.

Главным достоинством метода Подиновского является то, что множество Парето удается подвергнуть дальнейшему усечению, не вводя численных аналогов важности показателей качества, а пользуясь лишь качественной информацией об их сравнительной важности, без численной оценки превосходства одного показателя качества над другим.

Адаптивные или последовательные процедуры выбора предполагают решение задачи выбора не «в лоб», посредством установления частичного или линейного порядка на альтернативах, а путем задания целей через введение ЛПР частичного порядка на показателях качества. Таким образом, ПК уже рассматриваются не как совокупность, а как частично упорядоченное множество в пространстве обобщенных метакритериальных показателей. Такой подход существенно менее жесткий, чем введение весовых коэффициентов, но и не столь безусловный, как векторный метод сравнения вариантов.

Суть последовательных процедур состоит в том, чтобы цели выбора формулировать через совокупность показателей качества, а сами ПК рассматривать как альтернативы в некотором метакритериальном пространстве. В этом случае критериальная постановка задачи выбора будет задаваться орграфом – Диаграммой Хассе Gp (ПКi, U) вершинами в которой будут ПКi, а дуги задавать отношения доминирования по правилу Парето.

 Подобный частичный порядок ПК дает возможность сформировать цепь лексикографии, вершинами в которой будут группы несравнимых показателей качества (или единичные ПК), а процедура выбора в этом случае распадается на этапы многорядного последовательного усечения исходного множества в соответствии с сформированным порядком. Максимальное число цепей в таком линейном порядке будет равно числу паретовских слоев показателей качества в принятом метакритериальном пространстве.

Пример представления гибкой последовательной постановки в виде диаграммы Хассе приведен на рис. 1, где “0” обозначает искусственно введенный наименее значимый ПК.

 

 

Рис. 1. Последовательная постановка многокритериальной задачи

 

L áW ¤ { kl } / S { k1,, kp }, kp+1,…, p { ks,…,ks+g }, kf, kM ñ

К основному достоинству гибких последовательных постановок относится то, что от ЛПР требуется лишь «качественная информация» о линейных порядках ПК (порядках предпочтений) при формулировке целей, которым должен отвечать проектируемый объект. От ЛПР не требуется введения каких-либо количественных данных и метрических отношений на ПК. Причем, качественные требования могут быть очень многообразны, и формулироваться проектировщиком исходя из понимания им сущностных характеристик проектного задания.

С помощью установления частичного порядка на ПК, ЛПР получает мощное средство (язык) выражения своих предпочтений. Это достоинство является особенно важным на начальных этапах исследования многокритериальной задачи, т.к. в условиях недостатка информации представляет ЛПР не только мощные языковые средства исследования многокритериальных задач, но и структурирует альтернативы (упорядочивает их) с точки зрения способности решения поставленных целей.

Результаты предложенного адаптивного подхода реализованы авторами в автоматизированной системе многкритериального выбора альтернатив «ВЫБОР 12М», которая внедрена на ряде предприятий и зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ НИИВО Минобра РФ в 2003г.

 

Список литературы

 

1.        Roy B. Problems and methods with multiple objective functions/ Math/ Programming. Nord-Holland Publish. Company. Amsterdam: 1972. Vol.1, № 2 P. 239-266.

2.        Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с однородными равноценными критериями // Журнал вычислительной математики и физики, 1975, Т.15, № 2, с. 130-141.

3.        Кандырин Ю.В. Автоматизированный многокритериальный выбор альтернатив в инженерном проектировании. – М.: Изд. МЭИ, 1993, 76 с.

4.        Кандырин Ю.В. Принципы построения информационных систем для автоматизированного многокритериального выбора // Радиотехника, №5, 1999, с. 35-37.

Сетевой электронный научный журнал "СИСТЕМОТЕХНИКА", № 1, 2003 г.